1. Introdução
Os métodos de otimização utilizados em problemas de engenharia são aplicados na busca de mínimos e máximos de uma função. Isso é feito através da busca sistemática de valores das variáveis de entrada da função.
Em engenharia, deseja-se sempre obter um resultado com o menor custo possível. Pode-se entender, portanto, que o trabalho de um engenheiro é o de otimizar. Por exemplo: são infinitas as possibilidades para um projeto de uma ponte, mas são poucas as soluções que atendem as necessidades de projeto (vida útil, resistência aos esforços…) e que apresentem baixo custo.
Otimização é uma ferramenta poderosíssima e indispensável ao engenheiro. Esse artigo tem como objetivo apresentar alguns conceitos e exemplos didáticos com uma introdução à otimização aplicada à engenharia.
2. Exemplo do mínimo de uma função simples
Como exemplo, suponhamos a seguinte equação:
No contexto da otimização, essa função é chamada de função objetivo, pois é ela que desejamos minimizar. Ao longo do processo de otimização, deseja-se encontrar o valor de x para o qual o valor de y é mínimo. Para facilitar a compreensão, apresenta-se abaixo o gráfico dessa equação:
Nesse caso, o valor de x para o qual o valor de y é mínimo é 0.
Sabe-se que quando a derivada de uma função é nula, tem-se um ponto de mínimo, de máximo ou de inflexão. Portanto, podemos analisar a derivada da função y :
Dessa forma, a derivada de y é zero somente em x=0. Essa é uma das condições para que o ponto em análise seja considerado um ponto de mínimo, pois como mencionado anteriormente, quando a derivada da função no ponto é zero, tem-se um ponto de mínimo, de máximo ou de inflexão. Outra condição necessária é que o valor da função objetivo no ponto seja menor que o valor nos vizinhos: y(x)<y(x+) e y(x)<y(x-), onde é um número infinitesimal.
Alguns métodos numéricos para otimização trabalham buscando zerar o gradiente da função objetivo. No entanto, muitas vezes não se tem uma equação explícita para a função objetivo, dificultando o processo. Nesse caso, podem ser utilizados métodos numéricos (como diferenças finitas) para a obtenção dessas derivadas.
Além disso, é importante mencionar que uma função pode apresentar vários pontos de mínimo, mas somente um ponto será o menor mínimo possível (mínimo global). Esse conceito será discutido a seguir.
3. Mínimo local e mínimo global
Mínimos locais são pontos de mínimo, ou seja, o gradiente da função objetivo nesse ponto é zero e o valor da função objetivo nesse ponto é menor que o valor nos vizinhos, mas não é o menor valor da função. No entanto, em muitos casos, deseja-se encontrar o valor mínimo considerando todo o intervalo ao qual a variável de entrada pertence, o chamado mínimo global da função objetivo. O mínimo global e o local são ilustrados abaixo:
Portanto, o mínimo local é um mínimo da função objetivo, mas existe um mínimo ainda menor, chamado de mínimo global.
4. Restrições
Em determinadas aplicações algumas variáveis de entrada da função objetivo podem apresentar restrições físicas. Por exemplo, suponhamos duas variáveis: H e B, as quais representam a altura e largura de um retângulo, como apresentado abaixo:
Neste caso, B e H não podem ser menores que 0, visto que valores negativos para essas variáveis não têm significado físico. Suponhamos que uma dada função objetivo seja representada por uma função da seguinte forma:
Caso fosse necessário encontrar o mínimo da função y, dependente da largura do retângulo, cujo gráfico pode ser visto na figura abaixo, teria-se um mínimo global e um mínimo local.
No entanto, somente o mínimo local tem significado físico. O mínimo global, portanto, não pode se utilizado, visto que ele se encontra em uma região na qual a variável B é negativa.
5. Conclusão
A otimização é uma ferramenta poderosíssima e é amplamente utilizada na engenharia, como por exemplo em problemas de otimização topológica, otimização de geometrias, design estrutural, problemas inversos, entre outros.
Na WIKKI Brasil a otimização é largamente utilizada, como na obtenção de parâmetros para a modelagem da permeabilidade relativa entre rocha, água e óleo. A permeabilidade relativa é modelada utilizando-se quatro constantes, que são incialmente desconhecidas. Deseja-se determinar as constantes de tal forma que o resultado de uma simulação numérica (CFD utilizando o software OpenFOAM) se aproxime o máximo possível de um experimento material feito em laboratório. Portanto, a função objetivo a ser minimizada é a diferença entre o gradiente de pressão ao longo do tempo (dP(t)) e do volume de óleo produzido ao longo do tempo (V(t)) do resultado obtido em uma simulação e do resultado obtido experimentalmente. Como pode ser visto na imagem abaixo, os resultados obtidos com a simulação, feita no OpenFOAM, se aproximaram muito bem dos valores experimentais:
Apresentaram-se nesse artigo alguns conceitos e exemplos objetivando-se um início à introdução a esse importante tema.
6. Referências
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5. ed. [S.l.]: LTC, 2001. v. 1.
Martins, J. R. R. A; Ning, A. Engineering design optimization. [S.l.]: Cambridge
University Press, 2021.